Variáveis de auto regressão média móvel com exógenas

Modelos ARIMA com regressores. Um modelo ARIMA pode ser considerado como um tipo especial de modelo de regressão - em que a variável dependente foi estacionalizada e as variáveis ​​independentes são todos os atrasos da variável dependente e / ou atrasos dos erros - por isso é Em princípio, para alargar um modelo ARIMA para incorporar a informação fornecida por indicadores principais e outras variáveis ​​exógenas você simplesmente adicionar um ou mais regressores para a equação de previsão. Alternativamente, você pode pensar de um modelo de regressão ARIMA híbrido como um modelo de regressão que inclui uma correção Para erros autocorrelacionados Se você ajustou um modelo de regressão múltipla e descobriu que suas parcelas ACF e PACF residuais exibem uma assinatura autorregressiva ou de média móvel identificável, por exemplo, algum padrão significativo de autocorrelações e / ou autocorrelações parciais nos primeiros desfasamentos e / ou o desfasamento sazonal, Então você pode querer considerar adicionar atrasos de termos ARIMA da variável dependente e ou os erros para O modelo de regressão para eliminar a autocorrelação e reduzir ainda mais o erro quadrático médio. Para fazer isso, basta reajustar o modelo de regressão como um modelo ARIMA com regressores e especificar os termos AR e / ou MA apropriados para ajustar o padrão de Autocorrelação que você observou nos resíduos originais. A maioria de software high-end da previsão oferece uma ou mais opções para combinar as características de ARIMA e de modelos múltiplos da regressão No procedimento de previsão em Statgraphics, você pode fazer isto especificando ARIMA como o tipo do modelo e batendo então O botão de regressão para adicionar regressores Alas, você está limitado a 5 regressores adicionais Quando você adiciona um regressor para um modelo ARIMA em Statgraphics, ele literalmente apenas adiciona o regressor para o lado direito da equação de previsão ARIMA Para usar um caso simples , Suponha que você primeiro se encaixar um modelo ARIMA 1,0,1 sem regressores Então a equação de previsão montada por Statgraphics é. que pode ser reescrito como. Note que esta é uma forma matemática padrão que é freqüentemente usada para modelos ARIMA Todos os termos envolvendo a variável dependente - ou seja, todos os termos e diferenças AR - são coletados no lado esquerdo da equação, enquanto todos os termos envolvendo os erorrs Agora, se você adicionar um regressor X ao modelo de previsão, a equação ajustada pela Statgraphics é. Assim, a parte AR do modelo e também a transformação de diferenciação, Se algum for aplicado à variável X exactamente da mesma forma que é aplicado à variável Y antes de X ser multiplicado pelo coeficiente de regressão Isto significa efectivamente que o modelo ARIMA 1,0,1 é ajustado aos erros da regressão de Y em X ou seja, a série Y menos beta X. Como você pode dizer se poderia ser útil para adicionar um regressor para um modelo ARIMA Uma abordagem seria salvar os RESIDUAIS do modelo ARIMA e, em seguida, olhar para as suas correlações cruzadas com outros Variáveis ​​explicativas potenciais. Por exemplo, Que nós ajustamos previamente um modelo de modelo de regressão às vendas de auto ajustadas sazonalmente, em que o índice variável de LEADIND de onze principais indicadores econômicos revelou-se ligeiramente significativo além de defasagens da variável de vendas estacionária Talvez LEADIND também seria útil como um regressor em O modelo ARIMA sazonal que posteriormente instalamos nas vendas de automóveis. Para testar esta hipótese, foram salvos os RESIDUAIS do modelo ARIMA 0,1,1 x 0,1,1 ajustado a AUTOSALE. Suas correlações cruzadas com DIFF LOG LEADIND, traçadas na Métodos Descritivos, são os seguintes. Um par de pontos técnicos menores para notar aqui temos registrado e diferenciado LEADIND para estacioná-lo porque os RESIDUAIS do modelo ARIMA também são registrados e diferenciados - ou seja, expressa em unidades de mudança percentual Também, o método Métodos Descritivos, como o procedimento de previsão , Não gosta de variáveis ​​que começam com muitos valores faltantes Aqui os valores ausentes no início das variáveis ​​RESIDUALS foram substituídos por zeros - digitados manualmente - antes de executar o método Descriptive Methods Na verdade, o procedimento de Forecast é suposto automaticamente Desenhar parcelas de correlação cruzada dos resíduos em relação a outras variáveis, mas o gráfico que é rotulado Trama de Correlação Cruzada Residual mostra meramente as correlações cruzadas da variável de entrada em relação a outras variáveis. Observamos que a correlação cruzada mais significativa é a lag 0 , Mas infelizmente não podemos usar isso para prever um mês de antecedência. Em vez disso, devemos tentar explorar as correlações cruzadas menores em Atrasos 1 e ou 2 Como um teste rápido de se atrasos de DIFF LOG LEADIND são susceptíveis de acrescentar algo ao nosso modelo ARIMA, podemos usar o Regressão Múltipla procedimento para regred RESIDUALS em atrasos de DIFF LOG LEADIND Aqui está o resultado de regressar RESIDUAIS em LAG DIFF LOG LEADIND, 1.O valor R-quadrado de apenas 3 66 sugere que não é possível melhorar muito Se forem usados ​​dois atrasos de DIFF LOG LEADIND, o R-quadrado só aumenta para 4 06 Se retornarmos ao procedimento ARIMA e Adicione LAG DIFF LOG LEADIND, 1 como um regressor, obtemos os seguintes resultados de ajuste de modelo. Menor ponto técnico aqui nós armazenamos os valores de LAG DIFF LOG LEADIND, 1 em uma nova coluna, preenchido os dois valores faltando no início com zeros e atribuído a nova coluna o nome LGDFLGLEAD Vemos que quando um coeficiente para o atraso de DIFF LOG LEADIND é estimado simultaneamente com os outros parâmetros do modelo, é ainda menos significativo do que no modelo de regressão para RESIDUALS A melhoria no erro raiz-média-quadrado é apenas demasiado pequena para ser notável. O resultado negativo que nós Por exemplo, as variáveis ​​que medem os níveis de publicidade ou de preços ou a ocorrência de eventos promocionais são muitas vezes úteis para aumentar os modelos ARIMA e os modelos de suavização exponencial para os modelos ARIMA. Prever as vendas a nível da empresa ou do produto Lembre-se que a variável que está a ser analisada aqui - vendas a nível nacional em concessionários automóvel - é um macr altamente agregado Nós já aprendemos que o impacto em uma variável macroeconômica de eventos que ocorreram em períodos anteriores, por exemplo, mudanças em vários fatores econômicos que compõem o índice de indicadores de liderança, é muitas vezes mais claramente representado na história anterior dessa variável. , Os valores defasados ​​de outras séries temporais macroeconómicas podem ter pouco a acrescentar a um modelo de previsão que já explorou plenamente a história da série temporal original. Os indicadores económicos principais são frequentemente mais úteis quando aplicados como se pretendem - nomeadamente como indicadores de pontos de viragem Em ciclos de negócios que podem ter influência na direção de projeções de tendência de longo prazo. Introdução para ARIMA modelos não-sazonais. ARIMA p, d, q equação de previsão modelos ARIMA são, em teoria, a classe mais geral de modelos para prever uma série de tempo Que pode ser feito para ser estacionário por diferenciação, se necessário, talvez em conjunto com transformações não-lineares, como logging ou defla Uma variável aleatória que é uma série temporal é estacionária se suas propriedades estatísticas são todas constantes ao longo do tempo Uma série estacionária não tem tendência, suas variações em torno de sua média têm uma amplitude constante, e ele se move de forma consistente, ou seja, A última condição significa que suas correlações de autocorrelações com seus próprios desvios prévios em relação à média permanecem constantes ao longo do tempo, ou de forma equivalente, que seu espectro de poder permanece constante ao longo do tempo. Uma variável aleatória dessa forma Pode ser visto como usual como uma combinação de sinal e ruído, eo sinal se for aparente poderia ser um padrão de reversão média rápida ou lenta, ou oscilação sinusoidal, ou alternância rápida no sinal, e poderia também ter uma componente sazonal An O modelo ARIMA pode ser visto como um filtro que tenta separar o sinal do ruído, e o sinal é então extrapolado para o futuro para obter previsões. O ARIMA A equação de previsão para uma série de tempo estacionária é uma equação linear do tipo de regressão, em que os preditores consistem em defasagens da variável dependente e / ou defasagens dos erros de previsão. Isto é. Valor predefinido de Y uma constante e ou uma soma ponderada de um ou Valores mais recentes de Y e / ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes dos erros. Se os preditores consistem apenas em valores defasados ​​de Y é um modelo auto-regressivo autoregressivo puro, que é apenas um caso especial de um modelo de regressão E por exemplo, um modelo de regressão AR de 1ª ordem para Y é um modelo de regressão simples no qual a variável independente é apenas Y retardada por um período LAG Y, 1 em Statgraphics ou YLAG1 em RegressIt Se Alguns dos preditores são defasagens dos erros, um modelo ARIMA não é um modelo de regressão linear, porque não há maneira de especificar o erro do último período s como uma variável independente os erros devem ser calculados em um período a período De um ponto de vista técnico, o problema com o uso de erros defasados ​​como preditores é que as previsões do modelo não são funções lineares dos coeficientes mesmo que sejam funções lineares dos dados passados. Assim, os coeficientes em ARIMA Modelos que incluem erros defasados ​​devem ser estimados por métodos de otimização não-lineares escalada em altiplano ao invés de apenas resolver um sistema de equações. A sigla ARIMA significa Auto-Regressive Integrated Moving Average Lags da série estacionária na equação de previsão são chamados de termos autorregressivos, Os atrasos dos erros de previsão são chamados de termos de média móvel e uma série de tempo que precisa ser diferenciada para ser estacionária é considerada uma versão integrada de uma série estacionária Random-walk e modelos de tendência aleatória, modelos autorregressivos e suavização exponencial Modelos são todos os casos especiais de ARIMA models. A não sazonais ARIMA modelo é classificado como um ARIMA p, d, q modelo, where. p é o número É o número de diferenças não sazonais necessárias para a estacionariedade, eq é o número de erros de previsão defasados ​​na equação de previsão. A equação de previsão é construída da seguinte forma: Primeiro, vamos dizer y a d diferença de Y que Significa que a segunda diferença de Y o caso d 2 não é a diferença de 2 períodos atrás. Antes, é a diferença de primeira diferença da primeira diferença que é o análogo discreto de uma segunda derivada, ou seja, a aceleração local Da série em vez de sua tendência local. Em termos de y a equação de previsão geral é. Aqui os parâmetros de média móvel s são definidos de modo que seus sinais são negativos na equação, seguindo a convenção introduzida por Box e Jenkins Alguns autores e software incluindo A linguagem de programação R define-los de modo que eles têm mais sinais ao invés Quando os números reais são conectados à equação, não há ambigüidade, mas é importante saber qual convenção o seu uso de software S quando você está lendo a saída Frequentemente os parâmetros são indicados lá por AR 1, AR 2,, e MA 1, MA 2, etc. Para identificar o modelo apropriado de ARIMA para Y você começa determinando a ordem da diferença que precisa estacionar A série e remover as características brutas da sazonalidade, talvez em conjunto com uma transformação de estabilização de variância, como logging ou deflação Se você parar neste ponto e prever que a série diferenciada é constante, você tem apenas montado uma caminhada aleatória ou modelo de tendência aleatória No entanto, a série estacionária pode ainda ter erros autocorrelacionados, sugerindo que um certo número de termos AR p 1 e / ou alguns termos de número MA q 1 também são necessários na equação de previsão. O processo de determinar os valores de p, d e q que São as melhores para uma determinada série de tempo serão discutidas em seções posteriores das notas cujos links estão no topo desta página, mas uma prévia de alguns dos tipos de modelos não-sazonais ARIMA que são comumente encontrados é giv En below. ARIMA 1,0,0 modelo de auto-regressão de primeira ordem se a série é estacionária e autocorrelacionada, talvez possa ser predita como um múltiplo de seu próprio valor anterior, mais uma constante A equação de previsão neste caso é. que é Y Regredido sobre si mesmo retardado por um período Este é um modelo constante ARIMA 1,0,0 Se a média de Y for zero, então o termo constante não seria incluído. Se o coeficiente de inclinação 1 for positivo e menor que 1 em magnitude deve Ser menor que 1 em magnitude se Y for estacionário, o modelo descreve o comportamento de reversão de média no qual o valor do próximo período deve ser predito como sendo 1 vezes mais distante da média do valor deste período Se 1 for negativo, ele prevê a média - reverting comportamento com alternância de sinais, ou seja, também prevê que Y será inferior à média próximo período, se for acima da média deste período. Em um modelo de segunda ordem autorregressiva ARIMA 2,0,0, haveria um Y t -2 termo à direita também, e assim por diante Dependendo dos sinais e magnitudes Dos coeficientes, um modelo ARIMA 2,0,0 poderia descrever um sistema cuja reversão média ocorre de forma sinusoidal oscilante, como o movimento de uma massa sobre uma mola sujeita a choques aleatórios. ARIMA 0,1,0 aleatória Se a série Y não é estacionária, o modelo mais simples possível é um modelo de caminhada aleatória, que pode ser considerado como um caso limitante de um modelo AR 1 no qual o coeficiente autorregressivo é igual a 1, ou seja, uma série com uma média infinitamente baixa Reversão A equação de predição para este modelo pode ser escrita como. Onde o termo constante é a variação média período-período, ou seja, a deriva de longo prazo em Y Este modelo poderia ser montado como um modelo de regressão sem interceptação em que a primeira diferença De Y é a variável dependente Uma vez que inclui apenas uma diferença não sazonal e um termo constante, é classificado como um modelo ARIMA 0,1,0 com constante O modelo randômico-sem-marcha seria um ARIMA 0,1,0 Modelo sem constante. ARIMA 1,1,0 diferenciado f Se os erros de um modelo de caminhada aleatória são autocorrelacionados, talvez o problema possa ser corrigido adicionando um atraso da variável dependente à equação de predição - isto é, regressando a primeira diferença de Y sobre si mesma retardada por um período Isto resultaria na seguinte equação de previsão que pode ser rearranjada para. Este é um modelo autorregressivo de primeira ordem com uma ordem de diferenciamento não sazonal e um termo constante - ou seja, um modelo ARIMA 1,1,0. ARIMA 0,1,1 Sem constante alisamento exponencial simples Uma outra estratégia para corrigir erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória é sugerida pelo modelo de suavização exponencial simples Lembre-se de que para algumas séries temporais não-estacionárias, por exemplo, as que exibem flutuações barulhentas em torno de uma média variando lentamente, Executar, bem como uma média móvel de valores passados ​​Em outras palavras, ao invés de tomar a observação mais recente como a previsão da próxima observação, é melhor usar um ave Rage das últimas observações, a fim de filtrar o ruído e estimar com mais precisão a média local O modelo de suavização exponencial simples usa uma média móvel exponencialmente ponderada de valores passados ​​para alcançar este efeito A equação de predição para o modelo de suavização exponencial simples pode ser escrita Em um certo número de formas matematicamente equivalentes, uma das quais é a chamada forma de correção de erro, na qual a previsão anterior é ajustada na direção do erro que ela cometeu. Porque e t-1 Y t-1 - t-1 por definição , Isso pode ser reescrito como. que é uma equação de previsão ARIMA 0,1,1 sem constante - com 1 1 - Isso significa que você pode ajustar uma suavização exponencial simples especificando-a como um modelo ARIMA 0,1,1 sem constante , E o coeficiente MA 1 estimado corresponde a 1-menos-alfa na fórmula SES. Lembre-se de que no modelo SES, a idade média dos dados nas previsões de 1 período antecipado é 1, o que significa que tenderão a ficar aquém das tendências Ou pontos de viragem Por cerca de 1 períodos Segue-se que a idade média dos dados nas previsões de um período de um ano-ARIMA 0,1,1 sem modelo constante é 1 1 - 1 Assim, por exemplo, se 1 0 8, a A média de idade é de 5 Quando 1 se aproxima de 1, o modelo ARIMA 0,1,1 - sem constante torna-se uma média móvel de muito longo prazo e, à medida que 1 se aproxima de 0, torna-se um modelo randômico-sem-deriva. A melhor maneira de corrigir a autocorrelação adicionando termos AR ou adicionando termos MA Nos dois modelos anteriores discutidos acima, o problema de erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória foi fixado de duas maneiras diferentes, adicionando um valor defasado da série diferenciada à equação Ou adicionando um valor defasado do erro de previsão Qual abordagem é a melhor Uma regra para esta situação, que será discutida mais detalhadamente mais adiante, é que a autocorrelação positiva é geralmente melhor tratada adicionando um termo AR ao modelo e A autocorrelação negativa é geralmente melhor tratada pela adição de um termo MA Em negócios e tim económico E, a autocorrelação negativa surge frequentemente como um artefato de diferenciação. Em geral, a diferenciação reduz a autocorrelação positiva e pode até causar uma mudança de autocorrelação positiva para negativa. Portanto, o modelo ARIMA 0,1,1, no qual a diferenciação é acompanhada por um termo MA , É mais freqüentemente usado do que um modelo ARIMA 1,1,0. ARIMA 0,1,1 com suavização exponencial simples constante com crescimento Ao implementar o modelo SES como um modelo ARIMA, você realmente ganhar alguma flexibilidade Em primeiro lugar, o MA estimado 1 é permitido ser negativo, isto corresponde a um factor de suavização maior do que 1 num modelo SES, que normalmente não é permitido pelo procedimento de ajustamento do modelo SES. Em segundo lugar, tem a opção de incluir um termo constante no modelo ARIMA se O modelo ARIMA 0,1,1 com constante tem a equação de previsão. As previsões de um período de tempo deste modelo são qualitativamente semelhantes às do modelo SES, exceto que t A trajetória das previsões de longo prazo é tipicamente uma linha inclinada cujo declive é igual a mu ao invés de uma linha horizontal. ARIMA 0,2,1 ou 0,2,2 sem suavização exponencial linear constante Os modelos lineares de suavização exponencial são modelos ARIMA que Use duas diferenças não sazonais em conjunto com os termos MA A segunda diferença de uma série Y não é simplesmente a diferença entre Y e ela mesma retardada por dois períodos, mas sim é a primeira diferença da primeira diferença --e a mudança na - mudança de Y no período t Assim, a segunda diferença de Y no período t é igual a Y t - Y t-1 - Y t-1 - Y t-2 Y t - 2Y t-1 Y t-2 Um segundo Diferença de uma função discreta é análoga a uma segunda derivada de uma função contínua que mede a aceleração ou curvatura na função em um determinado ponto no tempo. O modelo ARIMA 0,2,2 sem constante prevê que a segunda diferença da série é igual Uma função linear dos dois últimos erros de previsão que podem ser rearranjados E 1 e 2 são os coeficientes MA 1 e MA 2 Este é um modelo de alisamento exponencial linear geral essencialmente o mesmo que o modelo de Holt e o modelo de Brown é um caso especial. Utiliza médias móveis exponencialmente ponderadas para estimar um nível local e um Tendência local na série As previsões de longo prazo a partir deste modelo convergem para uma linha reta cuja inclinação depende da tendência média observada no final da série. ARIMA 1,1,2 sem suavização exponencial linear de tendência amortecida constante. Este modelo É ilustrado nas diapositivas acompanhantes nos modelos ARIMA extrapola a tendência local no final da série, mas aplaina-lo em horizontes de previsão mais longos para introduzir uma nota de conservadorismo, uma prática que tem suporte empírico Veja o artigo sobre Por que a tendência de amortecimento funciona Por Gardner e McKenzie eo artigo da regra de ouro por Armstrong e outros para detalhes. É geralmente aconselhável ficar com modelos em que pelo menos um de p e q não é maior do que 1, ou seja, não tente encaixar um Modelo como o ARIMA 2,1,2, uma vez que isso é susceptível de levar a problemas de overfitting e fator comum que são discutidos em mais detalhes nas notas sobre a estrutura matemática dos modelos ARIMA. Implementação da folha de cálculo Os modelos ARIMA como os descritos acima são Fácil de implementar em uma planilha A equação de predição é simplesmente uma equação linear que se refere a valores passados ​​de séries temporais originais e valores passados ​​dos erros Assim, você pode configurar uma planilha de previsão ARIMA armazenando os dados na coluna A, a fórmula de previsão Na coluna B e os dados de erros menos as previsões na coluna C A fórmula de previsão numa célula típica na coluna B seria simplesmente uma expressão linear referindo-se a valores nas linhas precedentes das colunas A e C multiplicadas pelos coeficientes AR ou MA apropriados armazenados Em células em outra parte da planilha. Estimação e Simulação de Processos Autoregressive Hilbertian com Variáveis ​​Exógenas. Cite este artigo como Damon, J Guillas, S Stat Infer Stoch Proce Ss 2005 8 185 doi 10 1007 s11203-004-1031-6.Nós apresentamos o autorregressivo Hilbertian com variáveis ​​exógenas modelo ARHX que pretende levar em conta a estrutura de dependência de curvas aleatórias vistas como variáveis ​​aleatórias de valor H, onde H é um Hilbert Espaço de funções, sob a influência de variáveis ​​explicativas Limitar teoremas e estimadores consistentes são derivados de uma representação autorregressiva Um estudo de simulação ilustra a precisão da estimativa, fazendo uma comparação com previsões com outros modelos funcionais. autorregressivo processos exógenos variáveis ​​dados funcionais previsão simulação ARHX Modelos de séries temporais para a previsão a curto prazo do ozônio na parte oriental da Áustria. Ambientmétrica 12 117 130 CrossRef Google Scholar. 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